Катастрофой называется скачкообразное изменение, возникающее в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Математическое описание явлений, связанных с резкими скачками и качественными изменениями картины процесса, дается теориями особенностей и бифуркаций; бифуркации (катастрофы) представляют собой разрывы в системах, описываемых гладкими (непрерывными) функциями. Теория катастроф французского математика Р. Тома (R.Thom) - топологическая формализация, математический язык которой сложен даже для математиков. Теории особенностей, бифуркаций и катастроф наилучшим образом изложены в доступной для понимания биолога и небольшой по числу страниц книге «Теория катастроф» нашего соотечественника В.И. Арнольда, одного из лучших математиков мира. Эти теории описывают возникновение дискретных структур из непрерывных, называемых математиками гладкими.
Итак, источники теории катастроф – теория бифуркаций динамических систем великих математиков А. Пуанкаре (H. Poincare) и А.А. Андронова и топологическая теория особенностей гладких отображений Х. Уитни (H. Whitney). Некоторое представление об топологических особенностях может дать изображение так называемой каустики (от греч. «жгущий»), возникающей при отражении от окружности пучка параллельных лучей (рис. 1) – к примеру, в чашке с жидкостью.
Рис. 1. Каустика при отражении от окружности пучка лучей (Брус, Джиблин, 1988)
Топологическая особенность, называемая сборкой, она же бифуркация, элементарная катастрофа, схематически показана на рис. 2.
Рис. 2. Топологическая особенность (сборка) и ее проекция на плоскость (Брус, Джиблин, 1988)
Термин «бифуркация» (раздвоение, образование вилки) употребляется, как и «катастрофа», для обозначения качественных перестроек различных систем
при изменении параметров. Обычный пример катастрофы, бифуркации представляет собой поведение какой-либо упругой конструкции, под воздействием увеличивающейся нагрузки внезапно, скачкообразно переходящей в другое положение (рис. 3), причем направление выгиба конструкции предсказать невозможно.
Рис. 3. Прогиб колонны при превышении критической нагрузки (Малинецкий, 1997)
Графически бифуркация изображена на рис. 4: система имеет одно решение, одно значение в каждой точке - до точки бифуркации, после чего появляется выбор между двумя возможными решениями.
Рис. 4. Графическое представление бифуркации (катастрофы)
В самых разнообразных системах при изменении значения «управляющей» переменной система уходит от равновесия, достигая порога устойчивости. Это критическое значение называется точкой бифуркации; в точке бифуркации у системы появляется «выбор», в котором неизбежно присутствует элемент случайности с невозможностью предсказать выбор траектории эволюции системы.. Последовательность бифуркаций во времени описывает морфологию поведения системы (рис. 5).
Рис. 5. Примеры последовательностей бифуркаций (Малинецкий, 1997)
Теория катастроф указывает некоторые общие черты явлений скачкообразного изменения режима разнообразных систем в ответ на плавное изменение внешних условий: сочетание случайности и необходимости, детерминизма и непредсказуемости, возможность выбора из нескольких решений вблизи точки бифуркации, неожиданно сильного отклика на слабое воздействие (и наоборот).
В 70-х годах теорию катастроф стали применять к широкому спектру явлений с дискретным, скачкообразным поведением, когда кажущаяся
Сложные динамические системы включают флуктуирующие, случайным образом изменяющиеся компоненты. Отдельные флуктуации или их сочетания в системе с обратной связью, усиливаясь, вызывают разрушение прежнего состояния системы. Случайные воздействия в момент перелома (в точке бифуркации) могут подтолкнуть систему на новый путь развития; после же выбора одного из возможных путей, траектории развития, действует однозначный детерминизм - развитие системы предсказуемо до следующей точки бифуркации. Так случайность и необходимость дополняют друг друга.
В неравновесных условиях вблизи точки бифуркации система очень чувствительна к внешним воздействиям, и малое по силе внешнее воздействие, слабый сигнал может вызвать значительный отклик, неожиданный эффект. Внешние физические поля могут восприниматься системой, влияя на ее морфогенез. Так, при образовании ячеек Бенара (см. ниже) существенную роль начинает играть гравитация. Есть и биологические аналогии: роль гравитации в становлении дорсо-вентральной полярности при оплодотворении яйцеклетки амфибий, поляризация зиготы фукоидных водорослей под воздействием градиента освещенности.
Итак, в далеком от равновесия состоянии системы на первый план выступают нелинейные соотношения, слабое внешнее воздействие может порождать неожиданное, непредсказуемое поведение системы в целом. Иногда в состояниях, далеких от равновесия, очень слабые флуктуации или внешние возмущения могут усиливаться до огромных, скачкообразным образом разрушающих всю прежнюю структуру системы и переводящих ее в иное состояние.
К теории катастроф по сути близка идея самоорганизованной критичности (П. Бак и К. Чен, 1991), согласно которой системы с большим числом
взаимодействующих элементов спонтанно эволюционируют к критическому состоянию, когда малое воздействие может привести к катастрофе. Сложные системы могут разрушиться не только от мощного удара, но и от малого события, запускающего цепную реакцию, каскад бифуркаций, разрушительный турбулентный режим. К сложным системам относятся многие природные (земная кора, экосистемы) и социальные системы; примеры природных катастроф – землетрясения, лавины, социальных – крушение империй, обвал рынков. Экспериментальная модель Бака и Чена (Bak, Chen) – конические кучи сухого песка. Падение единственной песчинки на песчаный конус, находящийся в критическом состоянии, может вызвать обвал, катастрофу. В критическом состоянии падение отдельных скатывающихся песчинок, фиксируемое в эксперименте как «шум мерцания», оказывается предвестником катастрофы; можно выявить подобные предвестники природных и социальных катастроф. Кучи песка, по словам авторов, это не просто экспериментальная модель, это новый взгляд на мир, метафора кооперативного поведения многих частиц, неустойчивого равновесия, непредсказуемости. Это холистическая концепция: глобальные характеристики и эволюцию системы нельзя понять, анализируя составляющие ее части.
Вхождение системы в непредсказуемый режим, переход к хаосу, описывается каскадом бифуркаций, следующих одна за другой (рис. 6). Каскад бифуркаций ведет последовательно к появлению выбора между двумя решениями, затем четырьмя и т.д.; система начинает колебаться в хаотическом, турбулентном режиме последовательного удвоения возможных значений.
Теория бифуркаций и катастроф неразрывно связана с современными представлениями о динамическом, или детерминированном, хаосе.
Рис. 6. Сценарий удвоения периода; на вставке показана выделенная часть (Пайтген, Рихтер, 1993)
(от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой про-цесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через по-следовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.
Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, так называемый катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.
Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фей- генбаум. При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум анализировал в основном следующее логистическое уравнение:
X + , = СХ - С(Х у = СХ (1 - X)
п+1 и 4 и7 пу п"
где X - комплексное число; С - внешний параметр.
Из этого уравнения он вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.
Ниже рассмотрен классический биологический пример этого урав-нения.
Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью X. Через год появляется потомство численностью X
и и + 1
Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (CXJ, где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недос-татка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом С(Хп)2.
Результатом расчетов являются следующие выводы:
при С в области 1 в диапазоне 3 при С > 3.57 количество решений логистического уравнения начинает стремиться к бесконечности, в результате чего происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закраши-ваются) и поведение системы становится хаотическим.
С ростом С иногда появляются области, в которых количество решений логистического уравнения вновь снижается до видимых величин. Так, при Сот 3.627 до 3.631 (включительно) количество решений снижается до шести, а при С = 3.632 достигает двенадцати.
Впоследствии, однако, с ростом С количество решений вновь увели-чивается.
Интерес может также представлять значение внешнего параметра С = = 3.67857351. До него решение логистического уравнения для каждого п является или больше, или меньше предыдущего. После достижения этого значения начинает проявляться следующий эффект - вслед за растущим значением Хп иногда начинают появляться растущие значения Хп, хотя ранее за ростом всегда следовало падение.
Подобное поведение логистического уравнения подвигло классиков теории хаоса к выводу о том, что итогом развития всех эволюционирующих физических систем является состояние, похожее на состояние дина-мического хаоса.
Отсюда делаются следующие выводы о хаотических системах:
Хаотические системы - это системы с обратной связью, когда от предыдущего значения зависит последующее. Этот факт прямо указывает на то, что хаотические системы неслучайны, так как одним из свойств случайных блужданий является независимость предыдущих и последующих событий друг от друга.
В хаотических системах много точек равновесия. Так, при достижении параметром С определенного значения наблюдается более чем одна точка равновесия. В нашем примере это свойство проявляется уже при С = 3. До первой точки бифуркации система является ли-нейной и еще не хаотична. Однако уже после первой бифуркации динамика системы становится нелинейной, приобретая все больше хаотических очертаний. И после С > 3.57 количество вариантов решений логистического уравнения приобретает завершенный хаотический характер.
Хаотическая система является фракталом. Как мы помним, главное свойство фракталов - самоподобие. Так и в известной бифуркаци-онной модели малые элементы подобны большим, что очень хорошо видно на рис. 6.11.
Если рассматривать теорию бифуркации в пересечении с теорией эффективных рынков, в точке бифуркации на рынок поступает новая информация, которая приводит к очередному бифуркационному изме-нению. Как только действие информации заканчивается, рынок успокаи-вается. Успокаивается он до появления новой информации, а значит, до новой точки бифуркации.
Динамические переменные Хп принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).
Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым, а бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).
Логистическое уравнение можно свести к следующей системе уравнений при условии, если уп стремится к уп:
Гх„(1-х„) = х„_1(1-хя_1)
[Х„ =СХ„_1(1-ХЯ_1)
Из этой системы выводится простая формула, которую мы уже видели ранее:
X = 1 - 11С.
п
Отсюда видно, что Хп меньше единицы при любых значениях С. Второй вывод: Хп тем больше, чем больше С. Это означает рост точки сходимости (или нахождение точки, в которой логистическое уравнение стремится найти равновесие) вместе с ростом внешнего параметра.
На основании этой формулы можно легко рассчитать, что при С - 3 решение логистического уравнения стремится к 2/3, т.е. к 0.666666... в периоде.
Рассчитать логистическое уравнение можно на персональном компьютере, используя электронную таблицу Excel. Для этого в ячейку А1 по-местите значение внешнего параметра С. Начните, например, с 0.5. В ячейку В1 поместите значение комплексного числа X, например 0.1. Дальше в ячейку В2 необходимо будет ввести следующую формулу, которую продлите на максимально возможное для одного столбца количество значений (например, до 65 536 строки):
=$А$1 X В1 X (1 - В1).
Элементарные расчеты покажут вам, что, действительно, с ростом периодов п результат логистического уравнения стремится к нулю.
При увеличении параметра С до 2 логистическое уравнение уже через п = 5 (при X - 0.1) сходится к 0.5.
При увеличении параметра С до 3 результат логистического уравнения, действительно, сначала словно раздваивается, однако впоследствии он так же, как и при всех предыдущих значениях С, стремится сойтись к одной точке, значение которой мы уже знаем (2/3).
Из формулы логистического уравнения видно, что с ростом п нивелируется разница в первом значении X для итогового решения логистиче-ского уравнения. Что интересно, это верно и для больших значений С. Из этого можно сделать вывод, что в логистическом уравнении самой важной переменной является величина внешнего параметра С. В биоло-гическом примере этим параметром является скорость роста популяции. При небольших значениях скорости роста, как показывают расчеты, она определит период времени п, за который система придет в равновесие.
Фейгенбаум в результате своих исследований нашел следующую зако-номерность в появлении бифуркаций:
F = = 4.669201660910...,
Ow-ь»)
где F -- число Фейгенбаума (универсальная константа, подобно числу Ті);
Ь - значение внешнего параметра С при п-й бифуркации.
Кстати, универсальность константы Фейгенбаума как характеристики многих естественных хаотических процессов оставляет надежду на систе-матизацию и классификацию хаоса.
Используя число Фейгенбаума, можно найти значение С, при котором можно будет ожидать очередной бифуркации решений логистического уравнения:
4.669201609...
Применение этой формулы позволяет предсказывать, какие значения внешнего параметра С являются критическими для возникновения новой бифуркации. Интересно, что проведенные мной расчеты показали, что внешний параметр С для рассматриваемого нами логистического уравнения стремится к пределу 3.569945672, и сколь долго бы я не про-водил расчеты в поиске следующей точки бифуркации, они заканчива лись неудачей. Конечно же, вручную можно ввести и большие значения С, однако приведенная выше формула для определения значения внеш- него параметра С при п-й бифуркации в этом нам уже не поможет. Вместе с тем эта формула дает возможность наглядно понять, как очень малые изменения внешнего параметра С приводят к очень большим изменениям в решении логистического уравнения через большое количество периодов п.
Фейгенбаум также установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода. Здесь следует сказать, что в литературе, посвященной теории хаоса, делаются ссылки на экспери-ментальные подтверждения этого перехода для широкого класса механи-ческих, гидродинамических, химических и других систем.
Результатом исследований Фейгенбаума стало так называемое дерево Фейгенбаума (рис. 6.12).
Рис. 6.12. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической
формулы)
Между логистическим уравнением дерева Фейгенбаума {Хп+1 = СХп(1 - XJ) и множеством Мандельброта (Zn+1 - Z2 + С) видна схожесть, которая проявляется в том числе и в простом графическом сопоставлении. Здесь мы видим пересечение бифуркационных моделей с фракталами, что еще раз подтверждает, что бифуркации имеют фрактальную природу, поскольку они тоже самоподобны.
Разница здесь только в том, что дерево Фейгенбаума растет в сторону, противоположную от множества Мандельброта. Это объясняется разницей знаков внутри соответствующих формул, где в первой формуле квадрат числа X отнимается, а во второй - квадрат числа Z прибав-ляется.
.
На рис. 6.13 видно, что каждая бифуркация сопровождается появле-нием новой фрактальной фигуры во множестве Мандельброта.
Что же такое бифуркации в обыденности? Как мы знаем, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сигареты сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сна-чала кажутся упорядоченными, а затем становятся хаотически непредска-зуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу. Причиной бифуркаций здесь является ускорение, которое через некоторое время после появления дыма приводит к тому, что плотность дыма падает ниже плотности воздуха и дым рассеивается.
С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.
К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, и, когда изучаешь хаотическую систему, можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.
Сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, действительно, это самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.
а) Введение в теорию бифуркаций
Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров. Так, при потере устойчивости особой точкой может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом – хаос. Такого рода изменения и называются бифуркациями.
В дифференциальных уравнениях, описывающих реальные физические явления, чаще всего встречаются особые точки и предельные циклы общего положения, то есть гиперболические. Однако встречаются и специальные классы дифференциальных уравнений, где дело обстоит иначе. Таковы, например, системы, обладающие симметриями, связанными с природой описываемого явления, а также гамильтоновы уравнения, обратимые системы, уравнения, сохраняющие фазовый объем. Так, например, рассмотрим однопараметрическое семейство динамических систем на прямой с симметрией второго порядка:
Типичная бифуркация симметричного положения равновесия в такой системе(«трезубец») изображена на рис. 1. Она состоит в том, что от теряющего устойчивость симметричного положения равновесия ответвляется два новых, менее симметричных, положения равновесия. При этом симметричное положение равновесия сохраняется, но теряет устойчивость.
Основы математической теории бифуркаций были созданы А. Пуанкаре и A. M. Ляпуновым в начале ХХ века, а затем развиты некоторыми школами. Теория бифуркаций находит приложения в разных науках, начиная от физики и химии, заканчивая биологией и социологией.
Происхождение термина бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) связано с тем фактом, что динамическая система, поведение которой в равновесной области описывается системой линейных дифференциальных уравнений, имеющих единственное решение, при изменении параметров до некоторого критического значения, достигает так называемой точки бифуркации – точки ветвления возможных путей эволюции системы.
Этот момент (точка ветвления) соответствует переходу системы в неравновесное состояние, а на уровне математического описания ему соответствует переход к нелинейным дифференциальным уравнениям и ветвление их решений.
Бифуркацией называется приобретение нового качества эволюции (в движении) динамической системы при малом изменении ее параметров. Бифуркация соответствует перестройке характера движения или структуры реальной системы (физической, химической, биологической и т. д.).
С позиций математики, бифуркация – это смена топологической структуры разбиения фазового пространства динамической системы на траектории при малом изменении ее параметров.
Это определение опирается на понятие топологической эквивалентности динамических систем: две системы топологически эквивалентны, если они имеют одинаковую структуру разбиения фазового пространства на траектории, если движения одной из них могут быть сведены к движениям другой непрерывной заменой координат и времени.
Примером такой эквивалентности служат движения маятника при разных величинах коэффициента трения k: при малом трении траектории на фазовой плоскости имеют вид скручивающихся спиралей, а при большом – парабол (рис. на следующем слайде)
Переход от фазового портрета а к б не представляет собой бифуркации, поскольку бифуркации – это переход от данной системы к топологически неэквивалентной.
Пример: В математической модели возникновению ячеек Бенара соответствует бифуркация рождения новых состояний равновесия (соответствующих ячеистой структуре).
Среди различных бифуркаций при анализе моделей физических систем особенно интересны, так называемые, локальные – это бифуркации, при которых происходит перестройка отдельных движений динамической системы.
Простейшими и наиболее важными из них являются:
бифуркации состояний равновесия (ячейки Бенара)
бифуркации периодических движений.
Заключение. Важные черты бифуркации
Бифуркации, в результате которых исчезают статические или периодические режимы (то есть состояния равновесия или предельные циклы), могут приводить к тому, что динамическая система переходит в режим стохастических колебаний.
В приложениях теории бифуркаций ставится задача – для каждой конкретной ситуации найти аналитические выражения для вариантов решений уравнений, возникающих в точках бифуркации, а также определение значений параметров, при которых начинается ветвление решений уравнений. Предварительно необходимо провести анализ устойчивости системы и поиск точек ее неустойчивости. Методы этого анализа основаны на теории устойчивости, они достаточно подробно разработаны и носят чисто технический характер.
В теории бифуркаций описано большое число бифуркационных ситуаций. В развитии реальных природных систем могут наблюдаться не отдельные бифуркации, а целые каскады бифуркаций (классическим примером может служить возникновение турбулентности и других гидродинамических неустойчивостей). Кроме того, различают бифуркации и катастрофы. Существует даже теория катастроф. Однако, анализ связей и различий между ними выходит за пределы данного учебного пособия.
Очень важная черта бифуркаций: В момент времени, когда система находится вблизи точки бифуркации, огромную роль начинают играть малые возмущения значений ее параметров. Эти возмущения могут носить как чисто случайный характер, так и быть целенаправленными. Именно от них зависит, по какой эволюционной ветви пойдет система, пройдя через точку бифуркации. То есть, если до прохождения точки бифуркации, поведение системы подчиняется детерминистским закономерностям, то в самой точке бифуркации решающую роль играет случай.
Вследствие этого, по словам И. Пригожина, мир становится «загадочным, непредсказуемым, неконтролируемым». В определенном отношении это так. Но полностью с этим высказыванием нельзя согласиться, поскольку для любой системы в точке бифуркации имеется не произвольный, а вполне определенный набор путей эволюции. Поэтому даже если работает случайность, то она работает в строго определенном поле возможностей. И, следовательно, говорить о полной неопределенности и, тем более, полной загадочности некорректно. Что же касается неконтролируемости, то, конечно, говорить о тотальном контроле не имеет смысла, но в некоторых процессах возможно вмешательство как подталкивание к желаемым вариантам развития.
4. ХАОС
Тео́рия ха́оса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как хаос, которое характеризуется сильной чувствительностью поведения системы к начальным условиям; поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной; примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы.
Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.
Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются некоторому строгому закону и, в каком-то смысле, являются упорядоченными.
Динамический хаос - явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами. Причиной появления хаоса является неустойчивость по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы.
Так как начальное состояние физической системы не может быть задано абсолютно точно (например, из-за ограничений измерительных инструментов), то всегда необходимо рассматривать некоторую (пусть и очень маленькую) область начальных условий. При движении в ограниченной области пространства экспоненциальная расходимость с течением времени близких орбит приводит к перемешиванию начальных точек по всей области. После такого перемешивания бессмысленно говорить о координате частицы, но можно найти вероятность ее нахождения в некоторой точке.
Детерминированный хаос - сочетает детерминированность и случайность, ограниченную предсказуемость и непредсказуемость и проявляется в столь разных явлениях как кинетика химических реакций, турбулентность жидкости и газа, геофизические, в частности, погодные изменения, физиологические реакции организма, динамика популяций, эпидемии, социальные явления (например, курс акций).
Обзор
Бифуркация - это приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров.
Центральным понятием теории бифуркации является понятие (не)грубой системы (см. ниже). Берётся какая-либо динамическая система и рассматривается такое (много)параметрическое семейство динамических систем, что исходная система получается в качестве частного случая - при каком-либо одном значении параметра (параметров). Если при значении параметров, достаточно близких к данному, сохраняется качественная картина разбиения фазового пространства на траектории, то такая система называется грубой . В противном случае, если такой окрестности не существует, то система называется негрубой .
Таким образом в пространстве параметров возникают области грубых систем, которые разделяются поверхностями, состоящими из негрубых систем. Теория бифуркаций изучает зависимость качественной картины при непрерывном изменении параметра вдоль некоторой кривой. Схема, по которой происходит изменение качественной картины называется бифуркационной диаграммой .
Основные методы теории бифуркаций - это методы теории возмущений. В частности, применяется метод малого параметра (Понтрягина).
Бифуркация равновесий
В механических системах, как правило, установившиеся движения (положения равновесия или относительного равновесия) зависят от параметров . Значения параметров, при которых наблюдается изменение количества равновесий, называются их бифуркационными значениями . Кривые или поверхности, изображающие множества равновесий в пространстве состояний и параметров, называются бифуркационными кривыми или бифуркационными поверхностями . Прохождение параметра через бифуркационное значение, как правило, сопровождается изменением свойств устойчивости равновесий. Бифуркации равновесий могут сопровождаться рождением периодических и других, более сложных движений.
Основные понятия
См. также
Литература
- Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М .: Наука, 1967.
- Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М .: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 488 с. (Справочная математическая библиотека.)
- Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М .: Наука. 1955.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Теория бифуркаций" в других словарях:
Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Теория катастроф (значения). Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких… … Википедия
Теория катастроф: Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Катастрофизм (теория катастроф) система… … Википедия
Основная статья: Теория бифуркаций Каскад бифуркаций (Последовательность Фейгенбаума или сценарий удвоения периода) один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при… … Википедия
Совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ.… … Физическая энциклопедия
БИФУРКАЦИЯ, приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в нач. 20 в., затем эта теория была развита А. А. Андроновым и учениками … Энциклопедический словарь
- (от греч. katastrophe поворот, переворот), 1) совокупность приложений теории особенностей гладких (дифференцируемых) отображений и теории бифуркаций. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсеместно встречаются и их особенности … Естествознание. Энциклопедический словарь
В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Юдович. Виктор Иосифович Юдович Дата рождения: 4 октября 1934(1934 10 04) Место рождения: Тбилиси, СССР Дата смерти … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Ласточкин хвост. Ласточкин хвост (англ. swallow tail) нерегулярная поверхность в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами. Рассмотрим… … Википедия
Основная статья: Теория бифуркаций Постоянная Фейгенбаума универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыта Митчеллом… … Википедия
Для изучения видов бифуркации желательно разобраться с самим . В общем случае исследование всего фазового пространства на точки бифуркации является сложной задачей для n-мерного пространства, поэтому проводятся локальные исследования, а полученные точки бифуркации называются локальными точками бифуркации . За локальными точками бифуркации можно проследить, наблюдая развитие малых возмущений в системе Бифуркации состояний равновесия и периодических движений на примере шарика. Простейшими и наиболее важными из них являются бифуркации состояний равновесия и периодических движений.
Бифуркация положений равновесия
К основным бифуркациям состояний равновесия относят:- слияние и последующее исчезновение двух состояний равновесия. Примером может служить движение шарика в потенциальной «яме» с «полочкой» (рис. 1). При сглаживании «полочки» BD состояние равновесия «седло» S и центр С 2 сливаются и исчезают (рис. 2).
Рисунок 1 - Схема движения шарика в «яме» с «полочкой» (а) и его фазовый портрет (б)
Рисунок 2 - Схема движения шарика после бифуркации (а) и его фазовый портрет (б)
- Рождение предельного цикла из состояния равновесия. Пример такой бифуркации бифуркация Хопфа .
(1)
Динамическаия система
Она является упрощенным выражением сложной динамической системы, описываемой функциями x(t)
и y(t)
, которые выражаются через соответствующие полярные координаты:
и называется системой Хопфа.
Система (1) зависит от двух параметров, один из которых λ
будет для нас ключевым, а другой с=const
.
Решения задачи Коши при некоторых заданных начальных значения r(t=0)=r 0
, "phi;(t=0)="phi; 0
при λ < 0
дает нам фазовый портрет и график динамики, изображенные на рис. 3.
Рисунок 3 - График динамики (а) и фазовый портрет (б)
В данном случае существует единственная особая точка - устойчивый фокус
.
Построим теперь график динамики и фазовый портрет для случая λ > 0 (λ = 4)
(см. рис. 4)
Рисунок 3 - График динамики (а) и фазовий портрет (б) при λ > 0
Разными цветами изображены развязки при различных начальных условиях. Как видим, после короткого переходного процесса система входит в колебательный режим, причем амплитуда и частота колебаний не зависят от начальных условий (при любых начальных условиях система придет в одно и то же колебательное состояние).
На фазовом портрете решение для разных начальных условий как бы «наматываются» на замкнутую кривую. Эта кривая, к которой при t -> ∞
стремятся решения задачи Коши, является аттрактором и называется предельным циклом
.
Колебательный процесс, описывающий этот предельный цикл, называется автоколебаниями
.
Развязки в виде автоколебаний возможны только в существенно нелинейных динамических системах.
Динамическая система Хопфа
имеет нелинейность в виде куба параметра, причем дополнительная нелинейность накладывается благодаря определению функций x(t)
и y(t)
как выражений тригонометрических функций.
Можно доказать, что для данной динамической системы амплитуда колебаний равна .
Итак, λ = 0
- бифуркационные значения параметра. В этой точке узел теряет устойчивость и вместо него рождается устойчивый предельный цикл.
Данная бифуркация рождения предельного цикла из неподвижной точки называется бифуркацией Хопфа
, а рождение автоколебаний - мягким (при малых изменениях параметра колебания имеют малую амплитуду, которая увеличивается с его ростом). Жесткое рождения автоколебаний - при малых изменениях параметра происходит «выброс» траектории в область притяжения другого аттрактора.
- Рождение из одного равновесного состояния трех состояний равновесия - спонтанное нарушение симметрии. Например, при движении шарика в желобе при условии появления в нем бугорка появляется бифуркация, при которой из вырожденного состояния типа «центр» возникают три состояния равновесия - седло S и центры С1 и С2 (рис. 4)
Рисунок 4 - Рождения из одного состояния равновесия трех при малом изменении параметра (формы желоба):
а) форма желоба с одним минимумом и соответствующий фазовый портрет с одним состоянием равновесия типа «центр»;
б) форма желоба с двумя минимумами и соответствующий фазовый портрет с тремя состояниями равновесия: «седло» S и «центры» С1 и С2
Бифуркации рождения (гибели) периодического движения
Всем бифуркация рождения или гибели состояний равновесия соответствует прохождение одного или нескольких корней через ноль. Такая возможность проиллюстрирована на рис. 5, где изображена гибель двух состояний равновесия типа «седла» и «узла». Аналогичная бифуркация встречается в задачах о конкуренции видов Х1 и Х2, питающихся из одного источника. Соответствующая динамическая система, описывающая численность популяций, задается уравнениями:
При ρ 1,2 > 1 в системе возможна «победа» одного из видов. При уменьшении любого из параметров ρ 1,2 до значения, меньшего от 1, при любых начальных условиях будет выживать только один вид (рис. 5, б).
Рисунок 5 - Фазовые портреты численности популяций, а) при ρ 1 < 1
, ρ 2 > 1
; б) при ρ 1,2 > 1